Question

如图，在矩形ABCD中，AB =6，AD =11．直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A,D不重合），一直角边始终经过点C，另一直角边与AB交于点E．

（1）△CDP与△PAE相似吗？如果相似，请写出证明过程；

    （2）当∠PCD =30°时，求AE的长；

（3）是否存在这样的点P，使△CDP的周长等于△PAE周长的2倍？若存在，求DP的长；若不存在，请说明理由．

Answer

1）△CDP∽△PAE.                  ………………………………（1分）

证明：∵ 四边形ABCD是矩形，

∴ ∠D=∠A=90°，CD=AB=6.      ……………………（2分）

∴ ∠PCD+∠DPC=90°            

                又∵ ∠CPE=90°,

                  ∴ ∠EPA+∠DPC=90°,            ……………………（3分）

                  ∴ ∠PCD=∠EPA.              

                  ∴ △CDP∽△PAE.               ………………………（4分）

（2）在Rt△PCD中，由tan∠PCD =.      ……………………（5分）

               ∴ PD=CD•tan∠PCD=6•tan30°=6×=2.  …………（6分）

               ∴ AP=AD-PD=11-2.       ………………………………（7分）

               解法1：由△CDP∽△PAE知，

               ∴ AE=     …………（8分）

               解法2：由△CDP∽△PAE知∠EPA=∠PCD =30°，

∴ AE=AP•tan∠EAP=(11-2)•tan30°=.  ……（8分）

（3）假设存在满足条件的点P，设DP=x，则AP=11-x

由△CDP∽△PAE知，                  ……………（9分）

∴ ，解得x=8，此时AP=3，AE=4．   ……………（10分）

 【解析】略