Question

.(12分)如图1：⊙O的直径为AB，过半径OA的中点G作弦CE⊥AB，在上取一点D，分别作直线CD、ED交直线AB于点F、M。

（1）求∠COA和∠FDM的度数；(3分)

（2）求证：△FDM∽△COM；(4分)

（3）如图2：若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D改取在上，仍作直线CD、ED，分别交直线AB于点F、M，试判断：此时是否仍有△FDM∽△COM？证明你的结论。(5分)

            

Answer

（1）∵AB为直径，CE⊥AB

           ∴＝，CG＝EG

           在Rt△COG中，

∵OG＝OC

           ∴∠OCG＝300，∠COA＝600

           又∵∠CDE的度数

＝弧CAE的度数

＝的度数

＝∠COA的度数＝600

           ∴∠FDM＝1800－∠CDE＝1200

（2）证明：

∵∠COM＝1800－∠COA＝1200

 ∴∠COM＝∠FDM

在Rt△CGM和Rt△EGM中

  ∵ ∴Rt△CGM≌Rt△EGM ∴∠GMC＝∠GME

  又∠DMF＝∠GME ∴∠OMC＝∠DMF ∴△FDM∽△COM

（3）【解析】
结论仍成立。

∵∠FDM＝1800－∠CDE

 ∴∠CDE的度数＝弧CAE的度数＝的度数＝∠COA的度数

 ∴∠FDM＝1800－∠COA＝∠COM

       ∵AB为直径，CE⊥AB； ∴在Rt△CGM和Rt△EGM中

∵

  ∴Rt△CGM≌Rt△EGM

  ∴∠GMC＝∠GME

  ∴△FDM∽△COM

 【解析】略