Question

某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月至七月份该商品的售价和生产进行了调研，结果如下：一件商品的售价M(元)与时间t(月)的关系可用一条线段上的点来表示(如图甲)，一件商品的成本Q(元)与时间t(月)的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高(如图乙)．

根据图象提供的信息解答下面问题：

(1)一件商品在3月份出售时的利润是多少元?(利润＝售价－成本)

(2)求出图(乙)中表示的一件商品的成本Q(元)与时间t(月)之间的函数关系式；

(3)你能求出3月份至7月份一件商品的利润W(元)与时间t(月)之间的函数关系式吗?若该公司能在一个月内售出此种商品30000件，请你计算该公司在一个月内最少获利多少元?

Answer

(1)一件商品在3月份出售时利润为：6－1＝5(元)．

        (2)   t＝3，4，5，6，7．

        (3) W=（t-5）2+，其中t=3、4、5、6、7

【解析】（1）从图易知3月份每件商品售价6元，成本1元，易求利润；

（2）根据图象特征设解析式为顶点式易求解析式；

（3）根据利润的计算方法，显然需求直线解析式，再求差，运用函数性质计算利润．解答：【解析】
（1）每件商品在3月份出售时的利润为5元；（1分）

（2）∵抛物线的顶点坐标为（6，4）

∴设抛物线的解析式为Q=a（t-6）2+4

∵抛物线过（3，1）点

∴1=a（3-6）2+4

解得：a=-∴Q=-（t-6）+4=-t2+4t-8，其中t=3、4、5、6、7；（3分）

（3）设每件商品的售价M（元）与时间t（月）之间的函数关系式为M=kt+b

∵线段过（3，6）、（6，8）两点

∴3k+b=6      6k+b=8

解得：k=，b=4

∴M=t+4，其中t=3、4、5、6、7（4分）

所以每件商品的利润W（元）与时间t（月）的函数关系式为

W=M-Q=（t+4）-（-t2+4t-8）=t2-t+12（5分）

∴W=（t-5）2+，其中t=3、4、5、6、7

∴当t=5时，W的最小值为元（6分）

∴30000件商品一个月内售完，至少获利30000×=110000元．

答：30000件商品一个月内售完，至少获利110000元．（7分）