Question

已知抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C．

（1）求抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）的函数关系式及点C的坐标；

（2）如图（1），连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．

Answer

：【解析】
（1）∵抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，

∴，

解得：，

∴y=x2﹣x+3；

∴点C的坐标为：（0，3）；

（2）当△PAB是以AB为直角边的直角三角形，且∠PAB=90°，

∵A（3，0），B（4，1），

∴AM=BM=1，

∴∠BAM=45°，

∴∠DAO=45°，

∴AO=DO，

∵A点坐标为（3，0），

∴D点的坐标为：（0，3），

∴直线AD解析式为：y=kx+b，将A，D分别代入得：

∴0=3k+b，b=3，

∴k=﹣1，

∴y=﹣x+3，

∴y=x2﹣x+3=﹣x+3，

∴x2﹣3x=0，

解得：x=0或3，

∴y=3或0（不合题意舍去），

∴P点坐标为（0，3），

当△PAB是以AB为直角边的直角三角形，且∠PBA=90°，

由（1）得，FB=4，∠FBA=45°，

∴∠DBF=45°，∴DF=4，

∴D点坐标为：（0，5），B点坐标为：（4，1），

∴直线AD解析式为：y=kx+b，将B，D分别代入得：

∴1=4k+b，b=5，

∴k=﹣1，

∴y=﹣x+5，

∴y=x2﹣x+3=﹣x+5，

∴x2﹣3x﹣4=0，

解得：x1=﹣1，x2=4，

∴y1=6，y2=1，

∴P点坐标为（﹣1，6），（4，﹣1），

∴点P的坐标为：（﹣1，6），（4，﹣1），（0，3）；

（3）作EM⊥BO，

∵当OE∥AB时，△FEO面积最小，

∴∠EOM=45°，

∴MO=EM，

∵E在直线CA上，

∴E点坐标为（x，﹣x+3），

∴x=﹣x+3，

解得：x=，

∴E点坐标为（，）．

【解析】：（1）根据A（3，0），B（4，1）两点利用待定系数法求二次函数解析式；

（2）从当△PAB是以AB为直角边的直角三角形，且∠PAB=90°与当△PAB是以AB为直角边的直角三角形，且∠PBA=90°，分别求出符合要求的答案；

（3）根据当OE∥AB时，△FEO面积最小，得出OM=ME，求出即可．