Question

已知等腰三角形ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交于BC于 D点，在AD上任取一点P，（A点除外），过P点作EF∥AB，分别交AC、BC于点E、F，作PM∥AC，交AB于点M，连结ME。

（1）求证：四边形AEPM为菱形；

（2）当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半。

Answer

（1）见解析（2）P为EF中点时

【解析】（1）证明：∵EF∥AB. PM∥AC。

∴AEPM为平行四边形。

∵AB=AC.AD平分∠CAB.

∴∠CAD=∠BAD.AD⊥BC.

            又∵∠BAD=∠EPA.

             ∴∠CAD=∠EPA.∴EA=EP.

             ∴AEPM为菱形。

       （2）【解析】
当P为EF中点时。S菱形AEPM=S四边形EFBM.

               ∵四边形AEPM为菱形。

               ∴AD⊥EM.

              又∵AD⊥BC.

                ∴EM∥BC

              又∵EF∥AB.

                ∴四边形EFBM为平行四边形。

              作EN⊥AB于点N。

                ∴S菱形AEPM=EP×EN=EF×EN=S  EMBF.

（1）先证明AEPM为平行四边形，再证得EA=EP最后得出结论

（2）设P为EF中点，进行求证