Question

如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE．已知∠BAC＝30º，EF⊥AB，垂足为F，连结DF．

（1）求证：AC＝EF；

（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．

【解析】由等边△ABE和Rt△ABC，求得Rt△ABC∽Rt△EAF，即可得AC＝EF，由等边三角形的性质得出∠BDF=30°，从而证得△DBF≌△EFA，则AE=DF，再由FE=AB，得出四边形ADFE为平行四边形

Answer

（1）∵在等边△ABE中，EF⊥AB，

∴AF= AE= AB,

又∵Rt△ABC，∠BAC＝30º，

∴BC=AB,

∴BC=AF

∴Rt△ABC∽Rt△EAF（AAS）

即AC=EF

（2）因为EF⊥AB，∴，∠AFE=90

∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60，∴∠DAB=90

∵∠AFE=∠DAB，∴AD//EF

∵∠BAC=30，∴CB=AB

∵EF⊥AB，∴AF=AB=CB

∵AF=CB.AD=AC,∠DAB=∠ACB=90

∴Rt△ABC∽Rt△DFA

∴∠ADF=∠CAB=30，

∵∠DAB+∠BAE=90+60=150

∴∠ADF+∠DAE=180

∴AE//DF

∴四边形ADFE是平行四边形