Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝CD＝2，∠C＝60°，M是BC的中点．

（1）求证：△MDC是等边三角形；

（2）将△MDC绕点M旋转，当MD(即MD′)与AB交于一点E，MC(即MC′)同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．

【解析】此题考核等边三角形的判定，旋转的性质

Answer

（1）证明：过点D作DP⊥BC，于点P，过点A作AQ⊥BC于点Q，

∵∠C＝∠B＝60°

∴CP＝BQ＝AB，CP＋BQ＝AB，

又∵ADPQ是矩形，AD＝PQ，

故BC＝2AD，

由已知，点M是BC的中点，

BM＝CM＝AD＝AB＝CD，

即△MDC中，CM＝CD，∠C＝60°，

故△MDC是等边三角形．

（2）【解析】
△AEF的周长存在最小值，理由如下：

连接AM，由（1）平行四边形ABMD是菱形，

△MAB，△MAD和△MC′D′是等边三角形，

∠BMA＝∠BME＋∠AME＝60°，∠EMF＝∠AMF＋∠AME＝60°，

∴∠BME＝∠AMF，

在△BME与△AMF中，BM＝AM，∠EBM＝∠FAM＝60°，

∴△BME≌△AMF(ASA)，

∴BE＝AF，ME＝MF，AE＋AF＝AE＋BE＝AB，

∵∠EMF＝∠DMC＝60°，故△EMF是等边三角形，EF＝MF，

∵MF的最小值为点M到AD的距离，即EF的最小值是，

△AEF的周长＝AE＋AF＋EF＝AB＋EF，

△AEF的周长的最小值为2＋，

所以存在，△AEF的周长的最小值为2＋．