如图,已知,以为直径,为圆心的半圆交于点,点为弧CF的中点,连接交于点,为△ABC的角平分线,且,垂足为点.
(1)求证:是半圆的切线;
(2)若,,求的长.
【解析】此题考核圆的切线,相似三角形的性质
我市深入实施环境污染整治,某经济开发区的40家化工企业中已关停、整改32家,每年排放的污水减少了167000吨.将167000用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
计算:=( )
A.1 B.3 C.3 D.5
在矩形ABCD中,点P在AD上,AB=2,AP=1,将三角板的直角顶点放在点P处,三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F,连接EF.
(1)如图,当点E与点B重合时,点F恰好与点C重合,求此时PC的长;
(2)将三角板从(1)中的位置开始,绕点P顺时针旋转,当点E与点A重合时停止,在这个过程中,请你观察、探究并解答:
① ∠PEF的大小是否发生变化?请说明理由;
② 直接写出从开始到停止,线段EF的中点所经过的路线长.
【解析】(1)先求得△ABP∽△DPC.通过比例求出此时PC的长
(2)过点F作FG⊥AD于点G.△APE∽△GFP,得,在Rt△EPF中,tan∠PEF=即tan∠PEF的值不变.
∴∠PEF的大小不变.
在平面直角坐标系xOy中,抛物线经过点N(2,-5),过点N作x轴的平行线交此抛物线左侧于点M,MN=6.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)点P(x,y)为此抛物线上一动点,连接MP交此抛物线的对称轴于点D,当△DMN为直角三角形时,求点P的坐标;
(3)设此抛物线与y轴交于点C,在此抛物线上是否存在点Q,使∠QMN=∠CNM ?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
【解析】(1)把点M、N的坐标点入抛物线,即可求得,a,b
(2)由△DMN为直角三角形,求出点D的坐标,然后求出直线MD的解析式,即可求得点P的坐标
(3)逆向思维,设存在点Q进行解答
阅读下面材料:
问题:如图①,在△ABC中, D是BC边上的一点,若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°,DC=2.求BD的长.
小明同学的解题思路是:利用轴对称,把△ADC进行翻折,再经过推理、计算使问题
得到解决.
(1)请你回答:图中BD的长为 ;
(2)参考小明的思路,探究并解答问题:如图②,在△ABC中,D是BC边上的一点,若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°,DC=2,求BD和AB的长.
【解析】(1)利用三角形的内角和和角平分线定理进行解答,(2)根据对称的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理求解