Question

巳知二次函数y＝a(x²－6x＋8)(a＞0)的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C．点D是抛物线的顶点．

（1）如图①．连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点0'恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a的值；

（2）如图②，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是(4，4)、(4，3)，边HG位于边EF的右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段不能构成平行四边形)．“若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；

（3）如图②，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标l是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段能构成平行四边形)？请说明理由．

【解析】二次函数的综合运用

Answer

（1）令y＝0，由解得；

令x＝0，解得y＝8a．

∴点A、B、C的坐标分别是(2，0)、(4，0)、(0，8a)，

该抛物线对称轴为直线x＝3．

∴OA＝2．

如图①，设抛物线对称轴与x轴交点为M，则AM＝1．

由题意得：．

∴，∴∠O′AM＝60°．

∴，即．∴．

（2）若点P是边EF或边FG上的任意一点，结论同样成立．

(Ⅰ)如图②，设点P是边EF上的任意一点(不与点E重合)，连接PM．

∵点E(4，4)、F(4，3)与点B(4，0)在一直线上，点C在y轴上，

∴PB<4，PC≥4，∴PC>PB．

又PD>PM>PB，PA>PM>PB，

∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD．

∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形．

(Ⅱ)设P是边FG上的任意一点(不与点G重合)，

∵点F的坐标是(4，3)，点G的坐标是(5，3)．

∴FB＝3，，∴3≤PB<．

∵PC≥4，∴PC>PB．

（3）存在一个正数a，使得线段PA、PB、PC能构成一个平行四边形．

如图③，∵点A、B时抛物线与x轴交点，点P在抛物线对称轴上，

∴PA＝PB．

∴当PC＝PD时，线段PA、PB、PC能构成一个平行四边形．

∵点C的坐标是(0，8a)，点D的坐标是(3，－a)．

点P的坐标是(3，t)，

∴PC2＝32＋(t－8a)2，PD2＝(t＋a)2．

整理得7a2－2ta＋1＝0，∴Δ＝4t2－28．

∵t是一个常数且t>3，∴Δ＝4t2－28>0

∴方程7a2－2ta＋1＝0有两个不相等的实数根．

显然，满足题意．

∵当t是一个大于3的常数,存在一个正数，使得线段PA、PB、PC能构成一个平行四边形．