Question

已知双曲线与直线相交于A、B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线上的动点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过N（0，－n）作NC∥x轴交双曲线于点E，交BD于点C．

1.若点D坐标是（－8，0），求A、B两点坐标及k的值

2.若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式．

Answer

1.∵D（-8，0），

∴B点的横坐标为-8，代入y=x中，得y=-2，

∴B点坐标为（-8，-2），

而A、B两点关于原点对称，∴A（8，2），

∴k=8×2=16；       （4分）

2.∵N（0，-n），B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上，

∴mn=k，B（-2m，-），C（-2m，-n），E（-m，-n），

∴S矩形DCNO=2mn=2k，

∴S△DBO=mn=k，

∴S△OEN=mn=k，

∴S四边形OBCE=S矩形DCNO-S△DBO-S△OEN=k，

∴k=4，

由直线y=x及双曲线y=，得A（4，1），B（-4，-1），

∴C（-4，-2），M（2，2），

设直线CM的解析式是y=ax+b，

由C、M两点在这条直线上，得

解得a=b=，

∴直线CM的解析式是y=x+.（8分）

【解析】（1）将D的坐标可得B的横坐标，代入解析式可得B的坐标，又有A、B两点关于原点对称，易得k的值；

（2）根据题意B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上，可得BCD的坐标关于mn的表达式，进而可以表示出矩形的面积；代入数据可得答案。