Question

如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB, CD的延长线分别交于E,F．

1.求证：△BOE≌△DOF；

2.在现有条件下，再添加EF与AC满足什么关系时，以A,E,C,F为顶点的四边形是菱形？

Answer

1.见解析

2.见解析

【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形

∴OB=OD（矩形的对角线互相平分）

AE∥CF（矩形的对边平行）

∴∠E=∠F，∠OBE=∠ODF

∴△BOE≌△DOF（AAS）；                            4′

（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．

证明：∵四边形ABCD是矩形

∴OA=OC（矩形的对角线互相平分）

又∵△BOE≌△DOF

∴OE=OF

∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）

∵EF⊥AC，

∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．