Question

如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF=y．

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

（3）若，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？

Answer

（1），（2）当=4时，的值最大，最大值是2，（3）6或2

【解析】⑴在矩形ABCD中，∠B=∠C=Rt∠，

∴在Rt△BFE中， ∠1+∠BFE=90°.

又∵EF⊥DE ， ∴∠1+∠2=90°.∴∠2=∠BFE. ∴Rt△BFE∽Rt△CED.

∴，即.  ∴.

⑵当=8时， ，化成顶点式: ，

∴当=4时，的值最大，最大值是2.                           6分

⑶由，及得的方程: ，解得 .

∵△DEF中∠FED是直角，

∴要使△DEF是等腰三角形，则只能是EF=ED，此时， Rt△BFE≌Rt△CED.

∴当EC=2时，=CD=BE=6;

  当EC=6时，=CD=BE=2.

即的值应为6或2时， △DEF是等腰三角形.                              8分

⑴设法证明与这两条线段所在的两个三角形相似，由比例式建立关于的函数关系式;⑵将的值代入⑴中的函数关系式，配方化成项点式后求最值;⑶逆向思考，当△DEF是等腰三角形，因为DE⊥EF，所以只能是EF=ED，再由⑴可得Rt△BFE≌Rt△CED，从而求出的值.