Question

（1）如图①所示，菱形ABCD与等腰△AEF有公共顶点A, AE=AF,∠EAF=∠BAD, 连接BE、DF．

求证：∠ABE =∠ADF．

 (2) 如图②所示，将（1）中的菱形ABCD变为平行四边形ABCD，等腰△AEF变为一般△AEF，且AD=kAB,AF=kAE,其他条件不变．(1)中的结论是否还成立？说明理由．

Answer

⑴证明过程见解析，⑵成立，见解析

【解析】(1)在△ABE和△ADF中，因为∠EAF=∠BAD ，∠BAE=∠EAF -∠BAF，∠DAF=∠BAD -∠BAF，所以∠BAE=∠DAF，……………………………………………………………2分

又因为AB=AD，AE=AF，所以△ABE≌△ADF，…………………………………………4分

所以∠ABE=∠ADF．………………………………………………………………………5分

（2）∠ABE =∠ADF成立．………………………………………………………………6分

在△ABE和△ADF中，因为∠EAF=∠BAD ，∠BAE=∠EAF -∠BAF，∠DAF=∠BAD -∠BAF，所以∠BAE=∠DAF，…………………………………………………………………………7分

又因为AD=kAB,AF=kAE，所以，所以△ABE∽△ADF，……………………9分

所以∠ABE=∠ADF．……………………………………10分

（1）利用ASS得出△ABE≌△ADF，所以∠ABE=∠ADF．

（2）先求△ABE∽△ADF，然后得出结论。