Question

如图，抛物线经过点A、B两点，且当x=3和x=-3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等，经过点C的直线与x轴平行．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）若D是直线上的一个动点，求使△DAB的周长最小时点D的坐标；

（3）以这条抛物线上的任意一点P为圆心，PO的长为半径作⊙P，试判断⊙P与直线的位置关系，并说明理由．

Answer

⑴，⑵，⑶⊙P与直线相切，见解析

【解析】（1）因为当x=3和x=-3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等，

所以．……………………………………………………………1分

把x=-2，y=0；x=4，y=3，代入，得

，解得，

所以这条抛物线的解析式为．……………………………4分

（2）作点A关于直线的对称点A′，

连接A′B交直线于点D，此时△DAB的周长最小．……………………5分

设直线A′B的解析式为，

把x=-2，y=-4；x=4，y=3，代入，得

，解得，

所以直线A′B的解析式为，……………………………………7分

点D的坐标．…………………………………………………………8分

（3）⊙P与直线相切．…………………………………………………………9分

设抛物线上任意一点P的坐标为，则

PO=，

点P到直线的距离，…………………………11分

所以点P到直线的距离=⊙P的半径PO，

所以⊙P与直线相切．…………………………………………………………12分

（1）用代入法解出抛物线的解析式；

（2）利用周长最小的性质得抛物线的解析式；

（3）利用勾股定理解得。