Question

（12分）如图，△ABC和△ADC都是边长相等的等边三角形，点E、F同时分别从点B、 A出发，各自沿BA、AD方向运动到点A、D停止，运动的速度相同，连接EC、FC．

（1）写出在点E、F运动过程中，所有全等的三角形。

（2）点E、F运动过程中∠ECF的大小是否随之变化？请说明理由；

（3）点E、F运动过程中，以点A、E、C、F为顶点的四边形的面积变化吗？请说明理由;

（4）接EF，在图中找出和∠ACE相等的所有角，并说明理由．

Answer

（1）   （2）∠ECF不变为60°，理由见解析

（3）不变化，理由见解析（4）∠ACE=∠FCD=∠AFE．

【解析】（1）∵△ABC和△ADC都是边长相等的等边三角形,

∴

∵点E、F运动的速度相同,

∴AE=DF,BE=AF

∴        

（2）∠ECF不变为60°．（1分）

理由如下：

∵△ABC和△ADC都是边长相等的等边三角形，

∴BC=AC=CD，∠B=∠DAC=60°，

又∵BE=AF，

∴△BCE≌△ACF，

∴∠ECB=∠FCA．（4分）

所以∠ECF=∠FCA+∠ACE=∠ECB+∠ACE=∠BCA=60°；（6分）

（3）不变化．理由如下：

∵四边形AECF的面积=△AFC的面积+△AEC的面积，（7分）

又∵△BCE≌△ACF，

∴△AEC的面积+△BEC的面积=△ABC的面积；（8分）

（4）证明：∵∠FCD+∠DFC=120°，∠AFE+∠DFC=120°，

∴∠AFE=∠FCD，

所以∠ACE=∠FCD=∠AFE．（10分）

（1）根据SSS求证，根据SAS求证   ；

（2）根据SAS证明△BCE≌△ACF，得到∠ECB=∠FCA，从而证明结论；

（3）结合（1）中证明的全等三角形，即可发现以点A、E、C、F为顶点的四边形的面积即为△ABC的面积；

（4）根据等边三角形的判定可以证明△ECF是等边三角形，再进一步根据平角定义，得到∠AFE+∠DFC=120°，则∠AFE=∠FCD，从而求解