Question

如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直线为轴、轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）.若⊙P过A、B、E三点(圆心在轴上)，抛物线经过A、C两点，与轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1.

（1）求B点坐标；

（2）求证：ME是⊙P的切线；

（3）设直线AC与抛物线对称轴交于N，Q点是此对称轴上不与N点重合的一动点，①求△ACQ周长的最小值；②若FQ＝，△ACQ的面积 S_△ACQ＝，直接写出与之间的函数关系式.

 

Answer

（1）（2，2），（2）证明过程见解析

（3）①②当Q点在F点上方时，S＝t+1 

当Q点在线段FN上时，S＝1-t

当Q点在N点下方时，S＝t-1 

【解析】（1）如图甲，连接PE、PB，设PC＝

∵正方形CDEF面积为1∴CD＝CF＝1

根据圆和正方形的对称性知OP＝PC＝

∴BC＝2PC＝2………1分

而PB＝PE，

∴

解得n=1   (舍去)     …………… 2分

∴BC＝OC＝2  ∴B点坐标为（2，2）………3分

（2）如图甲，由（1）知A（0，2），C（2，0）

∵A，C在抛物线上∴     ∴

∴抛物线的解析式为

即…………………………………………………………… 4分

∴抛物线的对称轴为,即EF所在直线

∵C与G关于直线对称， ∴CF＝FG＝1  ∴FM＝FG＝

在Rt△PEF与Rt△EMF中

＝，  ∴=∴△PEF∽△EMF    …………5分

∴∠EPF＝∠FEM∴∠PEM＝∠PEF+∠FEM＝∠PEF+∠EPF＝90°

∴ME与⊙P相切……………………………………………………………………6分

（注：其他方法，参照给分）

（3）①如图乙，延长AB交抛物线于，连交对称轴x=3于Q，连AQ

则有AQ＝Q，△ACQ周长的最小值为（AC+C）的长……………………………7分

∵A与关于直线x=3对称∴A（0，2），（6，2）

∴C＝，

而AC=…………………8分

∴△ACQ周长的最小值为

  ……………………………9分

②当Q点在F点上方时，S＝t+1  ……10分

当Q点在线段FN上时，S＝1-t  ……11分

当Q点在N点下方时，S＝t-1   ……12分

（1）如图甲，连接PE、PB，设PC=n，由正方形CDEF的面积为1，可得CD=CF=1，根据圆和正方形的对称性知：OP=PC=n，由PB=PE，根据勾股定理即可求得n的值，继而求得B的坐标；

（2）由（1）知A（0，2），C（2，0），即可求得抛物线的解析式，然后求得FM的长，则可得△PEF∽△EMF，则可证得∠PEM=90°，即ME是⊙P的切线；

（3）①如图乙，延长AB交抛物线于A′，连CA′交对称轴x=3于Q，连AQ，则有AQ=A′Q，△ACQ周长的最小值为AC+A′C的长，利用勾股定理即可求得△ACQ周长的最小值；

②分别当Q点在F点上方时，当Q点在线段FN上时，当Q点在N点下方时去分析即可求得答案．