Question

 在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，我们称这种三角形为倍角三角形．如图1，倍角△ABC中，∠A=2∠B，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a,b,c，倍角三角形的三边a,b,c有什么关系呢？让我们一起来探索．

（1）我们先从特殊的倍角三角形入手研究.请你结合图形填空：

三角形	角的已知量
图2	∠A=2∠B=
图3	∠A=2∠B=

（2）如图4，对于一般的倍角△ABC，若∠CAB=2∠CBA ，∠CAB、∠CBA、∠C的对边分别记为a、b、c，a、b、c三边有什么关系呢？请你作出猜测，并结合图4给出的辅助线提示加以证明．

Answer

（1）

三角形

角的已知量

图28-2

∠A=2∠B=

图28-3

∠A=2∠B=

（2），

证明正确（4分）

【解析】（1）图2的三角形，显然是等腰直角三角形，可设斜边c为2，那么a=b= ，即可求得的值，图3的解法同上．

（2）由（1）的结论，可猜测a、b、c的等量关系应该是，可通过构造相似三角形来证明；延长CS至D，是得AD=AB；那么∠CAB=2∠A=2∠CBA，再加上公共角∠C，即可证得△CBD∽△CAB，由此得到所求的结论．

（1）图2的三角形，显然是等腰直角三角形，可设斜边c为2，那么a=b= ，即可求得的值，图3的解法同上．

（2）由（1）的结论，可猜测a、b、c的等量关系应该是，可通过构造相似三角形来证明；延长CS至D，是得AD=AB；那么∠CAB=2∠A=2∠CBA，再加上公共角∠C，即可证得△CBD∽△CAB，由此得到所求的结论．