Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、B（3，5），以AB为边作如图所示的正方形ABCD，顶点在坐标原点的抛物线恰好经过点D，P为抛物线上的一动点．

（1）直接写出点D的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）求点P到点A的距离与点P到x轴的距离之差；

（4）当点P位于何处时，△APB的周长有最小值，

并求出△APB的周长的最小值．

Answer

（1）D（－4，4）…………………………………………… (2分)

    （2）设抛物线的解析式是y＝ax2 …………………………………………… (3分)

         过点D（－4，4），a＝，∴y＝x2 ………………………………… (4分)

（3）设点P（t，t2），作PH⊥x轴于H，则PH＝t2…………………… (5分)

     另PA＝＝t2＋1……………………………………… (6分)

     故点P到点A的距离与点P到x轴的距离之差为1. ………………… (7分)

（4）即使PB＋PA最小，而PA＝PH＋1，…………………………………(8分)

作BE⊥x轴于E，与抛物线的交点即为点P ………………………… (9分)

此时P（3，）………………………………………………………… (10分)

则PB＋PA＝PB＋PH＋1＝BE＋1＝5＋1＝6

         △APB的周长的最小值＝5＋6＝11.……………………………………(11分)

【解析】(1)利用正方形邻边垂直且相等可得出D点坐标；

（2）由于抛物线的对称轴是y轴，故抛物线的解析式是设为y＝ax2，然后把D点坐标代入求得；

（3）利用勾股定理两线段的长度，然后求它们的差；

（4）利用（3）得出的结论得出P点的坐标以及周长。