Question

如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，连结AD，在AD的延长线上取一点E，连结BE，CE.

（1）求证：△ABE≌△ACE；

（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由.

Answer

⑴证明过程见解析，⑵当AE=2AD（或AD=DE或DE=AE）时，四边形ABEC是菱形，理由见解析

【解析】（1）证明：∵AB=AC

点D为BC的中点

∴∠BAE=∠CAE…………………………………………………1分

又∵AB=AC，AE=AE

∴△ABE≌△ACE（SAS）………………………………………--2分

（2）当AE=2AD（或AD=DE或DE=AE）时，四边形ABEC是菱形……3分

∵AE=2AD，∴AD=DE

又点D为BC中点，∴BD=CD

∴四边形ABEC为平行四形………………………………………--…5分

∵AB=AC

∴四边形ABEC为菱形…………………………………………-…-…6分

由题意可知三角形三线合一，结合SAS可得△ABE≌△ACE．四边形ABEC相邻两边AB=AC，只需要证明四边形ABEC是平行四边形的条件，当AE=2AD（或AD=DE或DE=1/2 AE）时，根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形