Question

如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，AC交⊙O于点E，D 为AC上一点，∠AOD＝∠C．

（1）求证：OD⊥AC；

（2）若AE＝8，cosA＝，求OD的长．

Answer

⑴证明过程见解析，⑵3

【解析】（1）证明：∵BC是⊙O的切线，AB为⊙O的直径

∴∠ABC=90°，------------------2分

∠A+∠C=90°，又∵∠AOD=∠C，

∴∠AOD+∠A=90°，-----------------------3分

∴∠ADO=90°，∴OD⊥AC.            ----------------4分

（2）【解析】
∵OD⊥AE，O为圆心，

∴D为AE中点 ，---------------------------5分

∴，-------------------6分

又∵cosA=，∴=∴AO=5--------------7分

∴OD=3---------------------- -8分

（1）根据切线的性质得出∠ABC=90°，进而得出∠A+∠C=90°，再由∠AOD=∠C，可得∠AOD+∠A=90°，即可证明；（2）由垂径定理可得，D为AE中点，根据已知可利用锐角三角函数求出