Question

如图，抛物线y＝＋bx＋c的顶点为C（0，－），与x轴交于点A、B，连接AC、BC，得等边△ABC. T点从B点出发，以每秒1个单位的速度向点A运动，同时点S从点C出发，以每秒个单位的速度向y轴负方向运动，TS交射线BC于点D，当点T到达A点时，点S停止运动. 设运动时间为t秒.

（1）求二次函数的解析式；

（2）设△TSC的面积为S，求S关于t的函数解析式；

（3）以点T为圆心，TB为半径的圆与射线BC交于点E，试说明：在点T运动的过程中，线段ED的长是一定值，并求出该定值.

Answer

⑴y=x2-，⑵当0＜t＜1，SΔTCS=；当1＜t＜2，SΔTCS=

（3）1

【解析】（1）∵y=ax2+bx+c的顶点是（0，-），

∴抛物线的对称轴是y轴，

∴b=0，故可设抛物线的解析式是：y=ax2-,------------1分

又∵三角形ABC是等边三角形，且有CO⊥AB，CO=

∴AO=1，∴A（-1,0）-------------2分

把点A代入y=ax2-，得a=

∴抛物线的解析式是y=x2-.-----------3分

（2）当0＜t＜1，SΔTCS=；------------4分

当1＜t＜2，SΔTCS=，------------5分

（3）当0＜t＜1，（如图1）过D作DH⊥y轴，显然有TB=TE，又∠B=60度，

∴三角形TBE为等边三角形，

∴BE=TB=t，

∵ΔSDH∽ΔSTO，设DH=a，

则有，即，

∴a=，∴DC=1-t，------------------7分

∴DE=CB-EB-DC=2-t-(1-t)=1.------ -------------8分

当1＜t＜2，（如图2）

同理，ΔSDH∽ΔSTO，即有，a=，DC=t-1，

∴DE=DC+CE=t-1+(2-t)=1. ---------------10分

图1                  图2

（1）利用顶点坐标和等边三角形，求出抛物线的解析式（2）当0＜t＜1时，当1＜t＜2两种情况表示（3）如图1、2，根据相似三角形的性质求证