Question

等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．

（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP；

（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．

①        探究１：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）

②        探究２：连结EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；

Answer

（1）证明过程见解析，（2）①相似   ②相似，理由见解析

【解析】(1) 证明：∵在△ABC中，

∠BAC=120°，AB=AC，

∴∠B=∠C=30°．

∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°，

∴∠BPE+∠BEP=150°，

∴∠EPF=30°，

又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，

∴∠BPE+∠CPF=150°，

∴∠BEP=∠CPF，

∴△BPE∽△CFP（两角对应相等的两个三角形相似）．

（2）  ①相似   ②相似

【解析】
①△BPE∽△CFP；②△BPE与△PFE相似．

下面证明结论：

同（1），可证△BPE∽△CFP，得 CP：BE=PF：PE，而CP=BP，因此 BP：BE=PF：PE．

又因为∠EBP=∠EPF，所以△BPE∽△PFE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）．