Question

取一副三角板按图①拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A依顺时针方向旋转一个大小为α的角（0°＜α≤45°得到⊿ABC^/，如图②所示。试问：

1.当α为多少度时，能使得图②中AB∥CD？

2.当旋转至图③位置，此时α又为多少度？图③中你能找出哪几对相似三角形，并求其中一对的相似比。

3.连结BD，当0°＜α≤45°时，探寻∠DBC^/+∠CAC^/+∠BDC值的大小变化情况，并给出你的证明。

Answer

1.由题意∠CAC′=α，

要使AB∥DC，须∠BAC=∠ACD，

∴∠BAC=30°，α=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC=45°-30°=15°，

即α=15°时，能使得AB∥DC．

2.易得α=45°时，可得图③，

此时，若记DC与AC'，BC'分别交于点E，F，

则共有两对相似三角形：△BFC∽△ADC，△C'FE∽△ADE．

下求△BFC与△ADC的相似比：

在图③中，设AB=a，则易得AC=  a．

则BC=（  -1）a， BC：AC=（ -1）a： a=1：（2+  ）

或（2-  ）：2．（8分）

注：△C'FE与△ADE的相似比为：C'F：AD=（ -  +1）： 或（  +  -2）：2

3.∠DBC′+∠CAC′+∠BDC的值的大小没有变化，总是105°，

当0°＜α≤45°时，总有△EFC′存在．

∵∠EFC′=∠BDC+∠DBC′，∠CAC′=α，∠FEC′=∠C+α，

又∵∠EFC′+∠FEC′+∠C′=180°，

∴∠BDC+∠DBC′+∠C+α+∠C′=180°，

又∵∠C′=45°，∠C=30°，

∴∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=105°．

【解析】一副三角板的角度常识和相似三角形的判定定理及性质可求解．