Question

如图1,在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为－1,直线l y=－X－与坐标轴分别交于A,C两点,点B的坐标为(4,1) ,⊙B与X轴相切于点M. 

(1)  求点A的坐标及∠CAO的度数;       

(2) ⊙B以每秒1个单位长度的速度沿X轴负方向平移,同时,直线l绕点A顺时针匀速旋转.当⊙B第一次与⊙O相切时,直线l也恰好与⊙B第一次相切.问:直线AC绕点A每秒旋转多少度?

(3)如图2.过A,O,C三点作⊙O₁ ,点E是劣弧上一点,连接EC,EA.EO,当点E在劣弧上运动时(不与A,O两点重合),的值是否发生变化?如果不变,求其值,如果变化,说明理由.                                                    

.                       

【解析】（1）已知点A，C的坐标，故可推出OA=OC，最后可得∠CAO=45°．

（2）依题意，设⊙B平移t秒到⊙B₁处与⊙O第一次相切，连接B₁O，B₁N，则MN=3．连接B₁A，B₁P可推出∠PAB₁=∠NAB₁．又因为OA=OB₁=，故∠AB₁O=∠NAB₁，∠PAB₁=∠AB₁O继而推出PA∥B₁O．然后在Rt△NOB₁中∠B₁ON=45°，∴∠PAN=45°得出∠1=90°．然后可得直线AC绕点A平均每秒30度．

（3）在CE上截取CK=EA，连接OK，证明△OAE≌△OCK推出OE=OK，∠EOA=∠KOC，∠EOK=∠AOC=90°．最后可证明

Answer

【解析】
（1）、A（－，0）

∵C（0，－），∴OA=OC。

∵OA⊥OC   ∴∠CAO=450----------------------------4分

（2）如图，设⊙B平移t秒到⊙B1处与⊙O第一次相切，此时，直线l旋转到l’恰好与⊙B1第一次相切于点P, ⊙B1与X轴相切于点N,

连接B1O,B1N,则MN=t,  OB1=  B1N⊥AN  ∴MN=3  即t=3-------------2分

连接B1A, B1P 则B1P⊥AP   B1P = B1N   ∴∠PA B1=∠NAB1

∵OA= OB1=   ∴∠A B1O=∠NAB1  ∴∠PA B1=∠A B1O   ∴PA∥B1O

在Rt⊿NOB1中,∠B1ON=450,  ∴∠PAN=450,  ∴∠1= 900.

∴直线AC绕点A平均每秒300.------------------------------------4分

(3). 的值不变,等于,如图在CE上截取CK=EA,连接OK,

∵∠OAE=∠OCK,  OA=OC  ∴⊿OAE≌⊿OCK, 

∴OE=OK  ∠EOA=∠KOC   ∴∠EOK=∠AOC= 900.

∴EK=EO  ,                   

l’

 ∴=----------------------------------------------4分