Question

（12分）如图1，在平面上，给定了半径为的⊙，对于任意点,在射线上取一点,使得·＝，这种把点变为点的变换叫做反演变换，点与点叫做互为反演点，⊙称为基圆.

 

⑴如图2，⊙内有不同的两点、，它们的反演点分别是、，则与∠一定相等的角是（    ▲   ）

（A）∠         （B）∠        （C）∠           （D）∠

⑵如图3，⊙内有一点，请用尺规作图画出点的反演点；（保留画图痕迹，不必写画法）.

⑶如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形，那么这两个图形叫做互为反演图形．已知基圆的半径为，另一个半径为的⊙，作射线交⊙于点、，点、关于⊙的反演点分别是、，点为⊙上另一点，关于⊙的反演点为．求证：∠＝90°.

Answer

（1）（C）

（2）过作⊥交⊙于点，连.

过作⊥交射线于点.

点即为所求.

（3）连、.

∵是⊙直径，

∴∠＝90°.

∵∠是△的外角，

∴∠－∠＝∠.

∵点、关于⊙的反演点分别是，.

∴

∴△△

∴∠∠

同理：△△

∴∠∠ 

由等式性质知：

∠－∠＝∠－∠

∴∠＝∠

即∠＝90°

【解析】此题主要考查的是相似三角形的判定与性质；点与圆的位置关系