Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P．已知tan∠BPD=，CE=2，则△ABC的周长是                      

Answer

12

【解析】过D点作DQ⊥AC于点Q．

则△DQE与△PCE相似，设AQ=a，则QE=1-a．

∴且tan∠BPD=，

∴DQ=2（1-a）．

∵在Rt△ADQ中，据勾股定理得：AD2=AQ2+DQ2

即：，

解之得a=1（不合题意，舍去），或a=．

∵△ADQ与△ABC相似，

∴．

∴AB=5AD=5，BC=5DQ=4，AC=5AQ=3，

∴三角形ABC的周长是：AB+BC+AC=5+4+3=12；

故答案为：12．