Question

已知如图1，线段AB、CD相交于点O,连结AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”. 那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥聪明才智，解决以下问题：

1.在图1中，请写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系,并说明理由；

2.仔细观察，在图2中“8”字形”的个数       个；

3.在图2中，若∠D=40⁰,∠B=36⁰，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N.利用（1）的结论，试求∠P的度数；

4.如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结论即可）。

Answer

1.∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，∠AOD=∠BOC，

∴∠A+∠D=∠C+∠B；     (2分)

2.①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；

②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；

③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；

④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；

⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；

⑥线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；

故“8字形”共有6个；      (2分)      （写到3个得1分）

3.∠DAP+∠D=∠P+∠DCP，①

∠PCB+∠B=∠PAB+∠P，②     

∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，

∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，

①+②得：

∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，

即2∠P=∠D+∠B，                        

又∵∠D=50°，∠B=40°  ∴2∠P=50°+40°，

∴∠P=45°；

4.关系：2∠P=∠D+∠B．

【解析】∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系根据这四个角分别是两个三角形的内角，根据三角形的内角和定理就可以得到．根据以上的结论，以及角平分线的定义就可以求出∠P的度数．