Question

如图（1），凸四边形ABCD，如果点P满足∠APD=∠APB=α．且∠BPC=∠CPD=β，则称点P为四边形ABCD的一个半等角点．

1.在图（3）正方形ABCD内画一个半等角点P，且满足α≠β；

2.在图（4）四边形ABCD中画出一个半等角点P，保留画图痕迹（不需写出画法）；

3.若四边形ABCD有两个半等角点P₁、P₂（如图（2）），证明线段P₁P₂上任一点也是它的半等角点．

Answer

1.所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点．（2分）

2.画点B关于AC的对称点B’，延长DB’交AC于点P，点P为所求（不写文字说明不扣分）．（3分）

3.连P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根据题意，

∠AP1D=∠AP1B，∠DP1C=∠BP1C，

∴∠AP1B+∠BP1C=180度．

∴P1在AC上，

同理，P2也在AC上．

在△DP1P2和△BP1P2中，

∠DP2P1=∠BP2P1，∠DP1P2=∠BP1P2，P1P2公共，

∴△DP1P2≌△BP1P2．

所以DP1=BP1，DP2=BP2，于是B、D关于AC对称．

设P是P1P2上任一点，连接PD、PB，由对称性，得∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC，

所以点P是四边形的半等角点．（5分）

【解析】（1）根据题意可知，所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点．因为在图形内部，所以不能是AC的端点，又由于α≠β，所以不是AC的中点．

（2）画点B关于AC的对称点B’，延长DB’交AC于点P，点P为所求．（因为对称的两个图形完全重合）

（3）先连P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根据题意∠AP1D=∠AP1B，∠DP1C=∠BP1C∴∠AP1B+∠BP1C=180度．∴P1在AC上，同理，P2也在AC上，再利用ASA证明△DP1P2≌△BP1P2而，那么△P1DP2和△P1BP2关于P1P2对称，P是对称轴上的点，所以∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC．即点P是四边形的半等角点