Question

已知如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：

(1)在图1中，若∠A+∠D=80°，则∠B+∠C=        ；仔细观察，在图2中“8字形”的个数：        个；

(2)在图2中，若∠DAO=50°，∠OCB=40°，∠P=35°，试求∠D的度数；

(3)在图2中，若设∠D=x°，∠B=y°，其它条件不变，试求∠P的度数．

【解析】根据角平分线的性质和三角形的内角和求解

Answer

【解析】
（1）80°，  6         ┄┄┄┄┄┄┄4分

       （2）∵AP、CP分别是∠DAO、∠BCO的平分线

            ∴∠1=∠DAO=50°=25°

              ∠2=∠OCB=40°=20°┄┄┄┄┄┄┄5分

            又∵∠AMO=∠1+∠D=∠3+∠P     

            ∴∠D=∠3+∠P-∠1=20°+35°-25°=30° ┄┄┄┄┄8分

       （3）由（2）得，∠AMO=∠1+∠D=∠3+∠P   ①

            又∠ONC=∠4+∠B=∠2+∠P   ②     ┄┄┄┄┄┄┄10分

            由①、②得，∠1-∠3=∠P-∠D

                         ∠2-∠4=∠B-∠P

            由已知得，  ∠1 =∠2   ∠3 =∠4      

            ∴∠1-∠3=∠2-∠4     ∴∠P-∠D=∠B-∠P

            ∴∠P=（∠B+∠D）=（x°+ y°）┄┄┄┄┄┄┄13分