Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝AD＝6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连接EF．

（1） 证明：EF＝CF；

(2) 当AE＝2时，求EF的长．

Answer

（1）见解析, （2）EF = 5

【解析】【解析】
(1) 如图，过D作DG⊥BC于G

由已知可得四边形ABGD为正方形

∵DE⊥DC

∴∠ADE＋∠EDG＝90°＝∠GDC＋∠EDG

∴∠ADE＝∠GDC

在△ADE与△GDC中，

∴△ADE≌△GDC  (ASA) ···························· 3分

∴DE＝DC且AE＝GC

在△EDF和△CDF中

∴△EDF≌△CDF（SAS）··························· ·6分

∴EF＝CF··································· 7分

(2) ∵AE＝2

设EF＝x，则BF＝8－CF＝8－x，BE＝4

由勾股定理x2＝＋42

     解得  

∴EF = 5    12分

 (1)过D作DG⊥BC于G，可得四边形ABGD为正方形，求得△ADE≌△GDC  (ASA)，△EDF≌△CDF（SAS），从而得出结论

(2)利用勾股定理求解