Question

已知：在△ABC中，∠CAB=，且，AP平分∠CAB．

1.如图1，若，∠ABC=32°，且AP交BC于点P，试探究线段

AB，AC与PB之间的数量关系，并对你的结论加以证明；

    答：线段AB，AC与PB之间的数量关系为：___________________________．

2.如图2，若∠ABC=，点P在△ABC的内部，且使∠CBP=30°，

求∠APC的度数（用含的代数式表示）

Answer

1.AB－AC= AB－AD=DB=PB

2.∠APC=120°＋∠APC=120°＋

【解析】【解析】
（1） AB－AC= PB；  

            证明：在AB上截取AD，使AD=AC．（如图7）

∵AP平分∠CAB，

∴∠1=∠2．

在△ACP和△ADP中，

                 AC =AD，

                 ∠1 =∠2，

                 AP=AP，

∴△ACP≌△ADP．  

∴∠C =∠3．

∵△ABC中，∠CAB==2×21°=42° ，∠ABC=32°，

∴∠C =180°－∠CAB－∠ABC =180°－42°－32° = 106°．

∴∠3 =106°．

∴∠4 =180°－∠3=180°－106°=74°，

  ∠5 =∠3－∠ABC=106°－32°=74°．

∴∠4 =∠5．

∴PB=DB．

∴AB－AC= AB－AD=DB=PB． 

（2）方法一：延长AC至M，使AM=AB，连接PM，BM．（如图8） 

∵AP平分∠CAB，∠CAB=，

∴∠1=∠2==．

在△AMP和△ABP中，

            AM =AB，

            ∠1 =∠2，

            AP=AP，

∴△AMP≌△ABP．  

∴PM=PB，∠3 =∠4．  

∵∠ABC=60°－，∠CBP=30°，

∴∠4=(60°－)－30° =30°－．

∴∠3 =∠4 =30°－．  ∵△AMB中，AM=AB，

∴∠AMB=∠ABM =(180°－∠MAB)÷2 =(180°－)÷2 =90°－．

∴∠5=∠AMB－∠3= (90°－)－(30°－)=60°．

∴△PMB为等边三角形．  

∵∠6=∠ABM－∠ABC = (90°－)－(60°－)=30°，

∴∠6=∠CBP．

∴BC平分∠PBM．

∴BC垂直平分PM．

∴CP=CM．

∴∠7 =∠3 = 30°－．

∴∠ACP=∠7＋∠3=(30°－)＋(30°－)=60°－．

∴△ACP中，∠APC=180°－∠1－∠ACP

=180°－－(60°－)

=120°＋．  

方法二：在AB上截取AM，使AM=AC，连接PM，延长AP交BC于N，连接MN．（如图9） 

∵AP平分∠CAB，∠CAB=，

∴∠1=∠2==．

在△ACN和△AMN中，

            AC =AM，

            ∠1 =∠2，

            AN=AN，

∴△ACN≌△AMN．  

∴∠3 =∠4．  

∵∠ABC=60°－，

∴∠3=∠2＋∠NBA=＋(60°－) =60°．

∴∠3 =∠4 =60°．

∴∠5=180°－∠3－∠4=180°－60°－60°=60°．

∴∠4 =∠5．   -∴NM平分∠PNB．

∵∠CBP=30°，

∴∠6=∠3－∠NBP=60°－30°=30°．

∴∠6=∠NBP．

∴NP=NB．

∴NM垂直平分PB．

∴MP=MB．

∴∠7 =∠8．

∴∠6＋∠7 =∠NBP＋∠8，

即∠NPM=∠NBM =60°－．   ∴∠APM=180°－∠NPM =180°－(60°－)=120°＋．

在△ACP和△AMP中，

            AC =AM，

            ∠1 =∠2，

            AP=AP，

∴△ACP≌△AMP．  

∴∠APC=∠APM ． 

∴∠APC=120°＋．