Question

如图，等边三角形ABC中，点D、E、F分别是BC、AC、AB上的点，且DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，垂足分别为点E、F、D. 则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于   （     ）

A.  ︰2         B.  1︰3               C. 2︰3          D. ︰3

Answer

B

【解析】：∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，

∴∠C+∠EDC=90°，∠FDE+∠EDC=90°，

∴∠C=∠FDE，

同理可得：∠B=∠DFE，∠A=DEF，

∴△DEF∽△CAB，

∴△DEF与△ABC的面积之比= ，

又∵△ABC为正三角形，

∴∠B=∠C=∠A=60°，△EFD是等边三角形，

∴EF=DE=DF，

又∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，

∴△AEF≌△CDE≌△BFD，

∴BF=AE=CD，AF=BD=DC，

在Rt△DEC中，

DE=DC×sin∠C=  DC，EC=cos∠C×DC=  DC，

又∵DC+BD=BC=AC=  DC，

∴，

∴△DEF与△ABC的面积之比等于：==1：3．

故选B．