Question

如图，将边长为3cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD的中点 M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P， 连接EP．

(1) △AEM的周长=_____cm；（2）求证：EP=AE+DP；

Answer

(1) （2）见解析

【解析】（1）设AE=xcm，则EB=ME=（3-x）cm．

又因为E为DC的中点，

所以AM=1.5cm，

在Rt△DME中，AE2+AM2=ME2，

即x2+1.52=（3-x）2，

解得x=．

所以线段DM的长为cm

△AEM的周长=+1.5+=   

（2）证明：

分别延长EM和PD交于点H.

∵正方形ABCD ∴AB∥CD,∴∠AEM=∠H

 又∵∠AME=∠DMH，AM=DM ∴△AME≌△DMH

∴EM=HM，AE=DH. ……………………………… 5分

 在△EHP中，由折叠过程知，∠EMP=∠B=90°，∴MP⊥EH

∴PH=EP 又∵EM=HM，∴PE=PH …………………………… 7分

∵PH=DP+DH,  AE=DH.  ∴PH=AE+DP

∴EP=AE+DP.        ……………………………………8分

（其他解法参照给分）

（1）设AE=xcm,根据勾股定理求得x，即可求出△AEM的周长

（2）通过△AME≌△DMH，求得EM=HM，AE=DH，由折叠过程，求得PE=PH，从而求得结论