Question

如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A₁、B₁，则四边形A₁ABB₁的面积为，再分别取A₁C、B₁C的中点A₂、B₂，A₂C、B₂C的中点A₃、B₃，依次取下去…．利用这一图形，能直观地计算出＋＋＋…＋＝________．

Answer

1-

【解析】）∵正△ABC面积为1，A1、B1分别为AC、BC两边的中点，

∴S△A1B1C= S△ABC=  ，

∴S四边形ABB1A1=3S△A1B1C=3× ，

同理S△A2B2C= S△A1B1C= × = ，

∴S四边形A1B1B2A2=3S△A2B2C=3×，

…

以此类推S四边形An-1Bn-1BnAn=3S△AnBnC=3×，

S△AnBnC= ，

∵S△ABC=S四边形ABB1A1+S四边形A1B1B2A2+…+S四边形An-1Bn-1BnAn+S△AnBnC=1，

即3× +3× +…+3×+ =1，

∴+ +…+=1-．