Question

如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点,P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．

下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．

证明：在边AB上截取AE=MC，连ME．

正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．

∴∠NMC=180°—∠AMN­—∠AMB

=180°—∠B—∠AMB

=∠MAB=∠MAE．

（下面请你完成余下的证明过程）

（2）若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2）,N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．

（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCD…X”，请你作出猜想：当∠AMN=         °时，结论AM=MN仍然成立．

（直接写出答案，不需要证明）

Answer

（1）见解析（2）见解析（3）

【解析】【解析】
（1）∵AE=MC

∴BE=BM,

∴∠BEM=∠EMB=45°,

∴∠AEM=1355°,

           又∵CN平分∠DCP，

∴∠PCN=45°，

∴∠AEM=∠MCN=135°

在△AEM和△MCN中：∵

∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN

    （2）仍然成立．

        在边AB上截取AE=MC，连接ME

        ∵△ABC是等边三角形，

        ∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，

        ∴∠ACP=120°．

        ∵AE=MC，∴BE=BM

        ∴∠BEM=∠EMB=60°

        ∴∠AEM=120°．

        ∵CN平分∠ACP，∴∠PCN=60°，

        ∴∠AEM=∠MCN=120°

        ∵∠CMN=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠BAM

        ∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN

    （3）

本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题