Question

已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

（1）求证：EG=CG；

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

Answer

（1）见解析（2）见解析（3）见解析，（1）中的结论仍然成立，

即EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG

【解析】【解析】
（1）证明：在Rt△FCD中，

∵G为DF的中点，

∴ CG= FD．………………1分

同理，在Rt△DEF中，   

EG= FD．   ………………2分

∴ CG=EG．…………………3分

（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．…………………………4分

证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．

在△DAG与△DCG中，

∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，

∴ △DAG≌△DCG．

∴ AG=CG．………………………5分

在△DMG与△FNG中，

∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，

∴ △DMG≌△FNG．

∴ MG=NG

  在矩形AENM中，AM=EN． ……………6分

在Rt△AMG 与Rt△ENG中，

∵ AM=EN， MG=NG，

∴ △AMG≌△ENG．

∴ AG=EG．

∴ EG=CG．  ……………………………8分

证法二：延长CG至M,使MG=CG，

连接MF，ME，EC， ……………………4分

在△DCG 与△FMG中，

∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，

∴△DCG ≌△FMG．

∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG．  

∴MF∥CD∥AB．………………………5分

∴EF=BE ．

在Rt△MFE 与Rt△CBE中，

∵ MF=CB，EF=BE，

∴△MFE ≌△CBE．

∴ ∠MEF=∠CEB．…………………………………………………6分

∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°．  …………7分

∴ △MEC为直角三角形．

∵ MG = CG，

∴ EG= MC．

∴ EG=CG． ………………………………8分

（3）（1）中的结论仍然成立，

即EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG．……11分

（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，EG=  DF，CG=  DF，所以EG=CG．

（2）连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点,利用全等求出AG=CG，通过MG=NG，求出AG=EG，从而得到结论（3）利用三角形全等求证