Question

已知：AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连结OP，弦CB//OP，直线PB交直线AC于点D，BD=2PA．

1.证明：直线PB是⊙O的切线；

2.探索线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明；

3.求sin∠OPA的值．

Answer

1.连结OB．∵BC//OP，       ∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠POB．

又∵OC=OB，∴∠BCO=∠CBO，    ∴∠POB=∠POA．

又∵PO=PO，OB=OA，            ∴△POB≌△POA．

∴∠PBO=∠PAO=90°．           ∴PB是⊙O的切线．

2.2PO=3BC（写PO=BC亦可）．

证明：∵△POB≌△POA，∴PB=PA．

∵BD=2PA，∴BD=2PB．

∵BC//OP，∴△DBC∽△DPO．

∴．∴2PO=3BC．

注：开始没有写出判断结论，正确证明也给满分．

3. ∵△DBC∽△DPO，∴，即DC=OD．∴DC=2OC．

设OA=x，PA=y．则OD=3x，DB=2y．

在Rt△OBD中，由勾股定理，得(3x)2= x2+(2y)2．即2 x2= y2．

∵x>0，y>0，∴y=x．OP=．

∴sin∠OPA=．

【解析】根据切线定理证明圆的切线，有关计算的依据是三角形相似和勾股定理。