Question

 如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（0，1）、B（－3，1）、C（－3，0）、O（0，0）．将此矩形沿着过E（－，1）、

F（－，0）的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、C′．

 

1.求折痕所在直线EF的解析式；

2.一抛物线经过B、E、B′三点，求此二次函数解析式；

3.能否在直线EF上求一点P，使得△PBC周长最小？如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由．

Answer

1.设EF的解析式为y=kx+b,把E（－，1）、F（,0）的坐标代入

1=－k+b              解得：k=

0=k+b                    b=4

所以，直线EF的解析式为y=x+4-

2.设矩形沿直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、C′

∵BE=3-=2；∴B′E= BE=2

在Rt△AE B′中，根据勾股定理，求得： A B′＝3，∴B′的坐标为（0，-2）

设二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c

把点B（－3，1）、E（－，1）、B′（0，-2）代入

-2=c                                  a=

3a－b+c=1                  解得： b=

27a－3b+c=1                       c=－2

∴二次函数的解析式为y=x2x－2

3.能，可以在直线EF上找到点P,连接C,交直线EF于点P，连接BP.

由于B′P=BP,此时，点P与C、B′在一条直线上，所以，BP+PC = B′P+PC的和最小，

由于BC为定长，所以满足△PBC周长最小。

设直线B′C的解析式为：y=kx+b

－2=b

0=－3k+b         所以，直线B′C的解析式为-

又∵P为直线B′C和直线EF的交点，

∴          解得：  

     y=x+4                     

∴点P的坐标为（  ， ）-

【解析】

1.把已知量代入函数解析式，利用待定系数法列出方程求解，从而得到二次函数的解析式。

2.连接BP，得到BP+PC = B′P+PC的和最小，从而满足△PBC周长最小。