Question

如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x．

1.当x的值为____________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形

2.当x的值为____________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；

3.点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．

Answer

1.3或8

2.1或11

3.由（2）知，当BP=11时，以P、A、D、E为顶点的四边形为菱形

【解析】【解析】
（1）如图，分别过A、D作AM⊥BC于M，DN⊥CB于N，

∴AM=DN，AD=MN=5，

而CD=4 ，∠C=45°，

∴DN=CN=4=AM，

∴BM=CB-CN-MN=3，

若点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形，

则∠APC=90°或∠DEB=90°，

当∠APC=90°时，

∴P与M重合，

∴BP=BM=3；

当∠DEB=90°时，

∴P与N重合，

∴BP=BN=8；

故当x的值为3或8时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；

（2）若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，那么AD=PE，有两种情况：

①当P在E的左边，

∵E是BC的中点，

∴BE=6，

∴BP=BE-PE=6-5=1；

②当P在E的右边，

BP=BE+PE=6+5=11；

故当x的值为1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；

（3）由（2）知，当BP=11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形

∴EP=AD=5，

过D作DN⊥BC于N，

∵CD=4 ，∠C=45°，

则DN=CN=4，

∴NP=3．

∴DP=

∴EP=DP，

故此时▱PDAE是菱形．

即以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形