Question

已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．现给出四个条件：①AC⊥BD；②AC平分对角线BD；③AD∥BC；④∠OAD＝∠ODA，请你以其中的三个条件作为命题的题设，以“四边形ABCD为菱形”作为命题的结论．

1.写出一个真命题，并证明

2.写出一个假命题，并举出一个反例说明

Answer

1.如：若AC⊥BD，AC平分线段BD，AD∥BC，则四边形ABCD是菱形．

证明：如图，设AC与BD交于上点O．

∵AC平分BD

∴BO=DO

∵AD∥BC，

∴∠ADO=∠CBO

在△AOD和△COB中，

∵ ∠ADO=∠CBO， BO=DO ，∠AOD=∠COB   ，

∴△AOD≌△COB（ASA）

∴AO=CO

∴四边形ABCD是平行四边形

又∵AC⊥BD

∴四边形ABCD是菱形；

2.如：若AC平分BD，AD∥BC，∠OAD=∠ODA，则四边形ABCD是菱形．

反例：如图，四边形ABCD为矩形．

【解析】（1）结合题中条件，从对角线上考虑：①AC⊥BD；②AC平分对角线BD，只要再说明AO与CO相等就可以了，利用③AD∥BC证明三角形全等就可以得到；

（2）利用条件说明是矩形，所以是菱形是假命题．