Question

两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中AB=2，AC=1．．固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：

1.如图（1），△DEF沿线段AB向右平移（即D点在线段AB内移动），连结DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，它的面积是否变化，如果不变请求出         其面积．如果变化，说明理由．

2.如图（2），当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明         理由．

Answer

1.根据平移的性质得到：AD=CF=BE．CF∥BD．

∴平行四边形ACFD与平行四边形BCFE的底边相等，且高相等，

∴平行四边形ACFD的面积等于平行四边形BCFE的面积，

又CD与BF分别为两平行四边形的对角线，

∴三角形ACD的面积等于三角形FCD的面积等于三角形CFB的面积等于三角形EFB的面积，

所以三角形ACD的面积等于三角形BEF的面积．

所以S梯形CDBF=S△ABC=；

2.在直角三角形ABC中，AD=BD，则CD=BD，

根据平移的性质，得CF=BD，CD=BF，

∴CD=BD=CF=BF，

∴四边形CDBF是菱形．

【解析】

（1）根据平移的性质，可得AD=BE，CF∥BD．所以三角形ACD的面积等于三角形BEF的面积，则梯形的面积就等于直角三角形ABC的面积；

（2）根据直角三角形一边上的中线等于斜边的一半，以及平移的性质可以证明该四边形的四条边相等，则该四边形是菱形．