Question

如图（11），梯形ABCD，AB∥CD ，AB＝2cm，且∠OAB＝30°，∠OBA＝45°，梯形ABCD内部的⊙O分别切四边于E，F，M，N，

1.求出⊙O的半径OM的长度

2.求出梯形ABCD的周长.

Answer

1.∵⊙O切AB于M

            ∴OM⊥AB  ……………………………………………………………………1分

          又∵∠OAB＝30°，∠OBA＝45°

            ∴AM＝OM·cot30°＝OM

              BM＝OM·cot45°＝OM……………………………………………………3分

            ∵AM+BM＝AB

            ∴OM+ OM＝2 则OM＝＝………………………………5分

2.作DG⊥AB，

    ∵⊙O分别切AB，AD于F，M，且∠OAB＝30°

    ∴∠DAB＝60°……………………………………………………………………7分

又∵OM＝ 则DG＝BC＝2()

  ∴AD＝＝2()·＝…………8分

          AG＝……………………………………………9分

         ∴ C梯形ABCD＝2AB－AG+AD+BC＝……………………………10分

【解析】（1）利用三角函数算出OM与AB的关系，得出结果；

（2）利用梯形的高等于圆的直径得出高的大小，再根据外切得出∠DAB=60°和∠ABC=90°,然后利用三角函数求得AD、BC、AG的长度，最后利用周长公式求出结果。