如图，抛物线与x轴交于A，0两点，将抛物线向上移动4个单位长度后得到一条新抛物线...

如图，抛物线与x轴交于A，0两点，将抛物线向上移动4个单位长度后得到一条新抛物线，它的顶点在x轴上，新抛物线上的D，E两点分别是A，O两点平移后的对应点。设两条抛物线、线段AD和线段OE围成的面积为S。P（m，n）是新抛物线上一个动点，切满足

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⑴求新抛物线的解析式。

⑵当m=-2时，点F的坐标为，试判断直线DF与AE的位置关系，并说明理由。

⑶当的值最小时，求△AEP的面积与S的数量关系。

⑴⑵DF∥AE，理由见解析⑶△AEP=S 【解析】⑴由题意可知，原抛物线的顶点坐标为（-2，-4），且过原点，可得，那么新抛物线的解析式为 ⑵直线DF与AE的位置关系为DF∥AE。理由如下：当m=-2时，P（-2,0），把点P（-2,0）带入可得=4，所以点F（-8,0），又有点A(-4,0),D(-4,4),E(0,4)，可证△ADF和△OEA全等，所以∠AFD=∠OAE，所以DF∥AE。 ⑶连结DE，则新抛物线与DE围成的图形的面积等于原抛物线与AO围成的图形的面积，所以 S=S正方形AOED=4×4=16.因为点P（m，n）是新抛物线上的一点，所以，又因为P的坐标满足，所以=。当m=1时，取得最小值-5，此时n=9，即点P的坐标为（1，9）。所以△AEP=8，所以△AEP=S。 ⑴由题意可知，原抛物线的顶点坐标为（-2，-4），可求出原抛物线的解析式，从而求得新抛物线的解析式 ⑵通过△ADF和△OEA全等，可得∠AFD=∠OAE，从而得出结论 ⑶连结DE，则新抛物线与DE围成的图形的面积等于原抛物线与AO围成的图形的面积，求得，得出结论

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考点分析：

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解决问题：

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⑴在图一中，若DC=2，AB=8，DE=3，则S = ，S₁ = ，S₂ = ，则= 。

⑵在图二中，若AB=a，DC=b，DE=h，则= ，并写出理由。

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试题属性

题型：解答题
难度：中等