Question

如图，在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC边于点D，在劣弧     上取一点E，并使∠EBC＝∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H

1.求证：AC⊥BH

2.若∠ABC＝45°，⊙O的直径等于10，BD＝8，求CE的长

 

Answer

1.连接AD，………………………………………1分

         ∵∠DAC＝∠DEC，∠EBC＝∠DEC，

         ∴∠DAC＝∠EBC，…………………………………2分

         又∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，………3分

         ∴∠EBC＋∠BCG＝∠DAC＋∠DCA＝90°，

∴∠BGC＝90°，∴AC⊥BH．……………………5分

2.∵∠BDA＝180°－∠ADC＝90°，∠ABC＝45°，

         ∴∠BAD＝45°，∴AD＝BD＝8，……………………6分

         又∵AC＝10，∴在Rt△ADC中由勾股定理，得：

         ，

         ∴BC＝BD＋DC＝8＋6＝14，……………………………7分

        又∵∠BGC＝∠ADC＝90°，∠BCG＝∠ACD，

        ∴△BCG∽△ACD，

∴，∴，………8分

连接AE，∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，

∴Rt△AEC∽Rt△EGC，∴，∴，

∴．……………………………………10分

 【解析】(1)利用园的直径对应的园周角为直角，再根据角的等量代换得出∠BGC＝90°，从而得出AC⊥BH；

     （2）先用勾股定理求出BC的长，然后利用△BCG∽△ACD求出CG的长，再利用Rt△AEC∽Rt△EGC求出CE的长。