Question

已知抛物线的顶点是（，为常数），并经过点点为一定点．

1.求含有常数的抛物线的解析式；

2.设点P是抛物线上任意一点，过P作PH⊥轴，垂足是H，求证：PD＝PH；

3.设过原点O的直线与抛物线在第一象限相交A、B两点，若DA＝2DB，且，求的值

Answer

1.设抛物线的解析式为y=kx2+a，…………………1分

∵经过点（2a，2a），

4a2k+a=2a，∴k=，y=x2+a…………………………………3分

2.设抛物线上一点P（x，y），过P作PH⊥x轴，PG⊥y轴，在Rt△GDP中，

由勾股定理得：PD2=DG2+PG2=（y-2a）2+x2=y2-4ay+4a2+x2，…………………………………5分

∵y=14ax2+a，∴x2=4a×（y-a）=4ay-4a2，…………………………………6分

∴PD2=y2-4ay+4a2+4ay-4a2=y2=PH2，∴PD=PH，…………………………………8分

3.过B作BE⊥x轴，AF⊥x轴，

由（2）的结论：BE=DB，AF=DA，

∵DA=2DB，∴AF=2BE，∴AO=2OB，

∴B是OA的中点，

∵C是OD的中点，

连接BC，∴BC=AD2=AF2=BE=DB，…………………………………9分

过B作BR⊥y轴，

∵BR⊥CD，∴CR=DR，OR=a+ ，

∴，∴x2=2a2，

∵x＞0，∴x=a，

∴B（a ，）…………………………………11分

AO=2OB，∴S△OBD=S△ABD=4，

∴×2a×a=4，

∴a2=4，∵a＞0，∴a=2，…………………………………13分

【解析】（1）把点（2a，2a）代入抛物线函数中得出抛物线的解析式；

（2）利用勾股定理求出PD和PH的值相等；

（3）根据中位线算出B点坐标，然后根据三角形面积公式求出的值