Question

已知：如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B和∠D都是直角.

⑴ 求证：BC=CD.

⑵ 若将原题中的已知条件“∠B和∠D都是直角”放宽为“∠B和∠D互为补角”,其余条件不变，猜想：BC边和邻边CD的长度是否一定相等？请证明你的结论.

⑶ 探究：在⑵的情况下，如果再限制∠BAD=60°，那么相邻两边AB、AD和对角线AC之间有什么确定的数量关系？需说明理由.

Answer

⑴见解析⑵ 一定相等，见解析⑶AB+AD=AC，理由见解析

【解析】【解析】
⑴ 证明：∵AC平分∠BAD，

∴∠BAC=∠DAC.

又∵∠D =∠B=Rt∠，AC公用，

           ∴△ABC≌△ADC.

           ∴ BC=CD.                     …………………………………………2分

 ⑵ 一定相等 .                 ………………………………………………3分

证明：如图2，不妨设∠B为锐角，作CE⊥AB于E，则点E必在线段AB上

    ∵∠B和∠D互为补角，

∴∠D是钝角，作CF⊥AD于F，

则点F必在线段AD的延长线上.

∴∠CDF与∠ADC互补.

∴∠B=∠CDF.

又∵AC是∠BAD的平分线， ∴ CE=CF.

∴Rt△BCE≌Rt△DCF

∴ BC=CD.                 ………………………………………………6分

⑶ AB+AD=AC.               ………………………………………………7分

   理由是：图2中，由已知条件，易知AE=AF，BE=DF.

∴AB+AD=（AE+BE）+（AF-DF）=AE+AF=2AE.

当∠BAD=60°时，∠CAE=30°，AE=AC.

∴AB+AD=2AE=AC.         ………………………………………………10分

（1）由AC平分∠BAD与∠B和∠D都是直角，以及AC是公共边，根据AAS即可证得△ABC≌△ADC，则可得BC=CD；

（2）首先不妨设∠B为锐角，作CE⊥AB于E，则点E必在线段AB上，由∠B和∠D互为补角，可得∠D是钝角，作CF⊥AD于F，则点F必在线段AD的延长线上，则可得∠D=∠CBF，又由AC是∠BAD的平分线，与CE=CF，即可证得Rt△BCF≌Rt△DCE，则可得BC=CD；

（3）在图2中，由已知条件，易知AE=AF，BE=DF，则可得AB+AD=（AE+BE）+（AF-DF）=AE+AF=2AE，则可证得AB+AD=2AE=AC