Question

数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF = 90°，且EF交正方形外角∠DCG的平行线CF于点F , 求证：AE=EF .经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连结ME，则AM = EC ，

易证△AME ≌△ECF ，所以AE = EF .    在此基础上，同学们作了进一步的研究：

1.小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE = EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由

2.小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE = EF ”仍然成立. 你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由.

Answer

1.正确

2.正确

【解析】【解析】
（1）正确.

           证明：在AB上取一点M，使AM=EC，连结ME，

      ∴BM=BE.  ∴∠BME=45°.   ∴∠AME=135°.

∵CF是外角平分线，                             

∴∠DCF = 45°.  ∴∠ECF = 135°.

∴∠AME = ∠ECF .

∵∠AEB +∠BAE=90°，∠AEB + ∠CEF = 90°,

∴∠BAE = ∠CEF.

∴△AME ≌ △ECF（ASA).

∴AE=EF. 

（2）正确.

     证明：

     在BA的延长线上取一点N，

     使AN=CE，连接NE.

     ∴BN=BE.

∴∠N=∠FCE=45°.

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD∥BE .  ∴∠DAE=∠BEA .

∴∠NAE=∠CEF .   ∴△ANE≌△ECF（ASA).

∴AE=EF.