Question

如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆的圆心在坐标原点，且与两坐标轴分别交于四点．抛物线与轴交于点，与直线交于点，且分别与圆相切于点和点．

1.求抛物线的解析式；

2.抛物线的对称轴交轴于点，连结，并延长交圆于，求的长．

3.过点作圆的切线交的延长线于点，判断点是否在抛物线上，说明理由．

Answer

1.因为圆心在坐标原点，圆的半径为1，

点的坐标分别为

因为抛物线与直线交于点，且分别与圆相切于点和点，

．······························································································· 2分

因为点在抛物线上，将的坐标代入

，得：   解之，得：

抛物线的解析式为：．          4分

2.因为，抛物线的对称轴为，

．···················· 6分

连结，

，，

又，

.所以EF=.

3.设直线DC与过点B的切线交于点P.直线DC解析式为y=kx+b，将D(0,1)、C（1,0）代入y=kx+b，求得y=－x+1.

又因为点P的纵坐标为－1，所以横坐标为2.

所以点P坐标为（2，,1）.

当x=2时，y=－x2+x+1=－4+2+1=－1，所以点P在抛物线上

【解析】（1）根据题意易得点A、B、C、D的坐标.根据切线的性质得点M、N的横坐标，代入y=x求出点M、N的纵坐标，利用三点D、M、N的坐标求出抛物线的解析式.（2）易得点E的坐标和DF的长度.利用直径所对的圆周角是直角，从而得出，求出DF的长，进而求出EF的长.（3）利用D、C两点坐标求出直线DC解析式. 设直线DC与过点B的切线交于点P，得到P点的纵坐标.将P点纵坐标代入直线解析式求出点P的横坐标，得到P点的坐标.然后判定点P是否在抛物线上.