Question

如图抛物线过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M为 (2,4)；矩形ABCD顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3.     

1.求该抛物线所对应的函数关系式；

2.将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速从图示位置沿x轴正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线交点为N

① 当t=时，判断点P是否在直线ME上，说明理由；

② 设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？说明理由．

Answer

1.

2.①不在，理由见解析。②S存在最大值.

【解析】

（2）① 点P不在直线ME上.                              

根据抛物线的对称性可知E点的坐标为(4,0)，

又M的坐标为(2,4)，设直线ME的关系式为y=kx+b.

于是得  ，解得

所以直线ME的关系式为y=-2x+8. …………………………………………………4分

由已知条件易得，当t时，OA=AP，   ……………………5分

∵ P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8.       

∴ 当t时，点P不在直线ME上.    ………………………………………6分          

② S存在最大值. 理由如下：                         

∵ 点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上，

∴ OA=AP=t.

∴ 点P，N的坐标分别为(t,t)、(t,-t 2+4t)      

∴ AN=-t 2+4t (0≤t≤3) ,