Question

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，线段AD是BC边上的中线．

1.如图(Ⅰ)，将△ADC沿直线BC平移，使点D与点C重合，得到△FCE，连结AF．求证：四边形ADEF是等腰梯形；

2.如图(Ⅱ)，在（1）的条件下，再将△FCE绕点C顺时针旋转，设旋转角为（0°<<90°）连结AF、DE．

AC⊥CF时，求旋转角的度数；②当=60°时，请判断四边形ADEF的形状，并给予证明．

Answer

1.证明：∵△ADC沿直线BC平移得到△FCE，

∴AD∥FC，且AD=FC，∴四边形ADCF是平行四边形，

∴AF∥DC，即AF∥DE，------------------------------------------------1分

∵∠BAC=90°，∠B=30°，∴∠ACD=60°，

∵AD是BC边上的中线，∴AD=DC，-------------------------------2分

∴△ADC是等边三角形，------------------------------------------------3分

∵△ADC≌△FCE，∴△FCE是等边三角形，

∴AD=FE，------------------------------------------------------------------4分

∵AF≠DE，∴四边形ADEF是等腰梯形．--------------------------5分

2.①【解析】
由（1）可知∠1=60°，-----------------6分

当AC⊥CF时，∠2=90°-60°=30°，

∴旋转角的度数为30°，----------------------------------7分

②四边形ADEF为矩形，----------------------------------8分

由（1）可知△ADC和△FCE是全等正三角形，

∴CA=CE=CD=CF，---------------------9分

当=60°时，如图（Ⅲ），∠ACF=60°+60°=120°，

∴∠ACE=120°+60°=180° ，∴A、C、E三点共线，同理：D、C、F三点共线，--------10分

∴AE=DF，---------11分

∴四边形ADEF为矩形．----------------------12分

【解析】利用平移的性质、全等三角形和矩形的判定求证